1 den 1000 e

1 den 1000 e kadar olan sayıların rakamları toplamı kaçtır? (Sayıların toplamı değil, rakamlar toplamı)

Cevap: 1'den 9'a kadar olan rakamların toplamı 45 eder. (10*9)/2 formülünden.

10'dan 19'a kadar olan sayıların rakamlarını toplarken
1+0+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1+8+1+9 yazarız. Toparlarsak;
10 (1) + 1+2+3+.....+9 eder. Yani, 10+45= 55 eder.

20'den 29'a kadar olan sayıların rakamlarını toplarken
2+0+2+1+2+2+2+3+2+4+2+5+2+6+2+7+2+8+2+9 yazarız. Toparlarsak;
10 (2) + 1+2+3+.....+9 eder. Yani, 20+45= 65 eder.

Yani toplamlar 10'ar 10'ar artmaktadır.
30'dan 39'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......75
40'dan 49'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......85
50'den 59'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......95
60'tan 69'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......105
70'ten 79'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......115
80'den 89'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......125
90'dan 99'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......135

Bu şekilde gidersek, 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamı,

45+55+65+75+85+95+105+115+125+135 eder. Yani, bütün terimlerden 45'leri ayırırsak;
(45*10) + 10+20+30+.....+90 eder.
Parantezden sonrasını 10 parantezine alırsak;
450+ (1+2+3+....+9)*10= 450+ (45*10) = 450+450= 900 olur.

Yani 1'den 100'e kadar (100 hariç) olan sayıların rakamları toplamı 900'dür.

Şimdi gelelim, 100 ile 199 arası sayılara.
Şimdi bu rakamlara şöyle bakalım.

100 = 1 00
101 = 1 01
102 = 1 02
103 = 1 03
..............
..............
155 = 1 55
156 = 1 56
157 = 1 57
...............
...............
197 = 1 97
198 = 1 98
199 = 1 99

Biz zaten eşitliklerin sağ tarafındaki ayrı yazılan sayıların rakamları toplamını biliyoruz. Bu bizzat 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamı. Yani 900!!!! Ama fazladan 100 tane 1 var toplamamız gereken.
Yani 100'dan 199'a kadar olan sayıların rakamları toplamı;
(100*1)+900= 100+900 = 1000 eder.

Bu durumda 200'den 299'a kadar olan sayıların rakamları toplamı;
(100*2)+900= 100+900 = 1100 eder.

Yani toplamlar 100'ar 100'er artmaktadır.
300'den 399'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1200
400'den 499'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1300
500'den 599'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1400
600'den 699'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1500
700'den 799'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1600
800'den 899'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1700
900'den 999'a kadar olan sayıların rakamları toplamı.......1800 eder.

Hepsini toplarsak 1'den 1000'e kadar olan sayıların toplamını buluruz.

1'den 1000'e kadar olan sayıların toplamı:

900+1000+1100+1200+1300+1400+1500+1600+1700+1800'dir.

100(9+10+11+12+13+14+15+16+17+18) eder.

Parentezin içinden 9'ları ayırırsak;

100*[ (9*10) + (1+2+3+.....+9)] = 100*[90+45] = 100*135 = 13500 eder.

1000'i de eklediğimizde, 13501 eder.

Cevap : 13501